６５歳を超えて継続雇用するときに気をつける点を教えてください。ハローワークに届けなければならないものはありますか？

雇用保険は労働保険年度の初め（４月１日）に６４歳以上である場合には雇用保険料の納付は会社負担分、従業員負担分両方免除になります。ですから給与から雇用保険料の被保険者負担（給与控除）の控除は必要ないということになります。
“免除”ですから雇用保険の被保険者としての身分は継続します。もし、雇用保険料を給与から控除していたのであれば返金するようにしてください。

この社員さんの退職時には、高年齢者給付金を受給することができます。通常の失業保険といわれる基本手当とこの高年齢者給付金は異なり“一時金”で支給されます。
基本手当は、受給期間中は厚生老齢年金がストップしますが、一時金（１回受給）で完了しますから年金受給には関係ありません。

６５歳に達したときの雇用保険のハローワーク等への手続きは特にありません。