妊娠によりツワリがひどい社員がいます。ほとんど、出社できない状態にあり困っています。この社員を解雇することはできるでしょうか？

解雇することはできません。
妊娠によるツワリは病気ではありません。よって、就業規則の解雇要件に病気等により一定期間以上出社が困難な場合を明記してあるにしても該当しません。

中途採用したのですが、使い物になりません。採用から2ヶ月が経過しています。当社は試用期間を3ヶ月間（当社就業規則）としていますが、この期間中であれば採用を取り消すことができるのですか？

採用を取り消すことは解雇となってしまいます。

就業規則で3ヶ月間の試用期間を明確にし、それを採用時に確認しておいたとしても『3ヶ月間』とは御社が決めたルールにすぎません。「使いものにならない」というだけでは採用を取り消す理由にはなりません。
試用期間中の業務において、どのように「使いものにならない」のか明らかにする必要があります。

就業規則では自己都合退職の場合には会社に1ヶ月前に申し出ることと規定していますが、「今週末で辞めさせてください」と言ってきました。就業規則のルールについては説明し納得させようとしたのですが、本人は来週から出社しないと一点張りで困っています。アドバイスお願いします。

退職の時期については労働者の申し出に従わなければなりません。

労働基準法では雇用契約の解除につき「○日前までに」といった定義を定めていません。雇用契約は民法上の契約に該当しますので、14日前までに雇用契約の解除を事業所に申し出ることが必要であると考えられますが、労働基準法は民法に優先されますのでこの「14日」を労働者に強制することはできません。