６５歳を超えて継続雇用するときに気をつける点を教えてください。ハローワークに届けなければならないものはありますか？

雇用保険は労働保険年度の初め（４月１日）に６４歳以上である場合には雇用保険料の納付は会社負担分、従業員負担分両方免除になります。ですから給与から雇用保険料の被保険者負担（給与控除）の控除は必要ないということになります。
“免除”ですから雇用保険の被保険者としての身分は継続します。もし、雇用保険料を給与から控除していたのであれば返金するようにしてください。

雇用保険には失業保険以外にも給付があるのでしょうか？

雇用継続を目的とした給付や教育訓練給付も雇用保険からの給付です。また、助成金についても雇用保険から支給されるものも多くあります。

雇用保険は、一般的には失業者に対する保険給付のみと思われがちですが、次のような給付があります。いずれの給付にしても雇用保険の被保険者（以下、被保険者という）である必要があります。

高齢者を採用したのですが、「もうすぐ65歳だから雇用保険には入らない」と言っています。65歳以降は雇用保険には入れないのですか（雇用形態は通常の社員並みです）？

64歳でしたら雇用保険の被保険者となります。

その高齢者を採用した日が65歳に達した日前であれば雇用保険の被保険者にしなければなりません。
失業等給付の基本手当（失業保険と一般的にいわれているもの）が65歳未満でないと支給されないので勘違いされたと思われます。

アルバイトを採用したのですが、本人の手取り額が下がるから雇用保険に入ないで欲しいと言ってきました。どうしたら良いですか？

雇用保険の被保険者の要件を満たしているのであればできません。雇用保険は任意に被保険者とするものではありません。
雇用保険の一般被保険者には短時間労働被保険者の概念があります。短時間被保険者とは次の3つの要件を全て満たす短時間労働者に適用されます。