今度６５歳になる社員から年金のカットのことなど質問されました。６５歳以上も給与から社会保険料を控除してもよいのですか？

介護保険の被保険者は４０歳以上６５歳未満の健康保険の被保険者（会社員）であれば給与控除の社会保険料に介護保険料の本人負担分を含めて処理します。これを一般的に介護保険第２号被保険者という呼び方をします。
これに対し、介護保険第1号被保険者とは市区町村に住所を有する６５歳以上の者をいいます。

６５歳を超えて継続雇用するときに気をつける点を教えてください。ハローワークに届けなければならないものはありますか？

雇用保険は労働保険年度の初め（４月１日）に６４歳以上である場合には雇用保険料の納付は会社負担分、従業員負担分両方免除になります。ですから給与から雇用保険料の被保険者負担（給与控除）の控除は必要ないということになります。
“免除”ですから雇用保険の被保険者としての身分は継続します。もし、雇用保険料を給与から控除していたのであれば返金するようにしてください。

高齢者を採用したのですが、「もうすぐ65歳だから雇用保険には入らない」と言っています。65歳以降は雇用保険には入れないのですか（雇用形態は通常の社員並みです）？

64歳でしたら雇用保険の被保険者となります。

その高齢者を採用した日が65歳に達した日前であれば雇用保険の被保険者にしなければなりません。
失業等給付の基本手当（失業保険と一般的にいわれているもの）が65歳未満でないと支給されないので勘違いされたと思われます。